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Le programme de Hilbert et la naissance de la logique contemporaine 2025-2026

Des changements profonds survenus dans les mathématiques au cours du XIXe siècle, ainsi que des nouvelle exigences philosophiques et techniques, conduisent à une approche axiomatique des théories, à une étude formelle de la notion de preuve et à la naissance de la théorie de la démonstration et de la théorie des modèles. Ce cours se propose de retracer les étapes principales du développement de la logique et des débats philosophiques qui y sont associés au tournant du XXe siècle.
Le cours partira de la controverse entre Frege et Hilbert concernant la relation entre cohérence et existence dans le contexte de leurs conceptions différentes des axiomes et définitions. On poursuivra en discutant l’évolution du projet épistémologique hilbertien. Cette dernière consiste à justifier les mathématiques sur la base des méthodes finitistes en démontrant la non-
contradiction des axiomes, ce qui amènera Hilbert à jeter le bases de la théorie de la démonstration, montrant ainsi son désaccord avec l’approche intuitionniste de Brouwer. En conclusion, on énoncera les théorèmes d’incomplétude de Gödel en présentant brièvement leur impact sur le programme hilbertien.

Textes clés

Correspondance entre Frege et Hilbert, traduction française dans F. Rivenc et P. de Rouilhan,, dir., Logique et fondements des mathématiques. Anthologie (1850-1914), Payot, 1992.

D. Hilbert, « Sur l’infini », 1926 (tr. par J. Largeault,in Logique mathématique. Textes, Paris: A. Colin, p. 215-245, 1972), première partie.

D. Hilbert, « Sur les problèmes futurs des mathématiques. Les 23 problèmes », le deuxième problème p. 14-17.

P. Bernays, « La philosophie des mathématiques et la théorie de la démonstration de Hilbert » (tr. par H. Benis Sinaceur dans Paul Bernays. Philosophe des mathématiques, Vrin, 2003), première partie.

P. Cassou-Noguès, Hilbert, Paris, Les Belles Lettres, 2001.

H. Sinaçeur, « Du Formalisme à la Constructivité. Le Finitisme » (1993), dernière section exclue.

S. Gandon, « La fondation des mathématiques : Kant et après », dans A. Arana et M. Panza, dir., Précis de philosophie de la logique et des mathématiques, vol. 2 : Philosophie des mathématiques, chap. 2, (surtout les section 4 et 5), Editions de la Sorbonne, 2021, pour le contexte historique et philosophique.

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