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Ce cours se propose d’étudier les langages et les théories formelles du point de vue de l’interprétation que nous pouvons en donner au moyen de structures mathématiques abstraites de type ensembliste. C’est grâce à ces structures que nous pouvons définir la vérité des énoncés des théories formelles et c’est pour cela que nous les appelons « modèles » de ces théories. Dans ce cours, il s’agira tout d’abord de rappeler le théorème de complétude pour la logique du premier ordre et d’étudier ensuite certains de ses conséquences, comme le théorème de compacité et les théorèmes de Löwenheim-Skolem. Nous emploierons ensuite ces théorèmes pour étudier la question de l’axiomatisabilité des théories et des structures mathématiques, mais aussi pour définir des modèles non standard de l’arithmétique et des nombres réels. Cela nous amènera à étudier la question de savoir quelles sont les relations entre les différents modèles d’une théorie et c’est en ce sens que nous étudierons la question de la catégoricité et de la décidabilité d’une théorie. Nous verrons ainsi que la théorie des modèles nous fournit des outils et des techniques essentiels pour classifier et comparer des théories formelles.

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