Guide de révisions - partiel 2024

Version courte

Cours: Chapitres 1 à 7: Systèmes, Matrices, Espaces et sous-espaces vectoriels, Bases et dimension, Applications linéaires, Représentation matricielles, Déterminant

Pour le cours, les attentes sont les suivantes: 

  • Connaître précisément les définitions (et surtout leur sens: vérifier que vous pouvez fabriquer un exemple simple !) et les énoncés des propositions 
  • Pouvoir traiter des exemples simples similaires à ceux traités en CM
  • Inutile de connaître par cœur les démonstrations des théorèmes: je ne vous demanderai pas d'en refaire une. Par contre, vérifiez que vous avez compris le raisonnement qui a mené au résultat.

Exercices: TD 1 à 6 Systèmes, Matrices, Espaces et sous-espaces vectoriels, Bases et dimension, Applications linéaires, Représentations matricielles

  • Savoir refaire les exercices "principaux"
  • Les exercices complémentaires ne sont pas au programme, mais permettent de s'entraîner. Leur difficulté est variable: les exercices complémentaires sans étoile devraient être abordables, ceux avec des étoiles sont plus

Version longue: Guide des ressources disponibles

VIDÉOS

Rappels, méthodes et un ou deux exemples sur les espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, bases, et applications linéaires:





Chapitre 1

Vrai/Faux: https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097065

Fiche-résumé : http://carolinevernier.website/memos/pivot_gauss.pdf


Méthodes à maîtriser:

  • Résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss

Exercices du TD correspondants: TD1  Exercices 1,2 (+ Exercices complémentaires 6,7,8)

Exercices supplémentaires: Sur cette page, exercices 1.1, 2 et 3

  • Déterminer l’ensemble des solutions d’un système à paramètre, en fonction des valeurs du paramètre

Exercices du TD correspondants: TD1  Exercices 3,4,5

Exercices supplémentaires: Sur cette page, exercices 4 et 5


Chapitre 2

Fiche-vocabulaire:

http://carolinevernier.website/memos/matrices_vocab.pdf

Vrai/Faux: https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097066


Méthodes à maîtriser:

  • Calculer un produit matriciel (et déterminer quand le produit de deux matrices existe)

Exercices du TD correspondants : TD2 Exercice 1

Exercices supplémentaires: Sur cette page, exercice 1

  • Puissances de matrices carrées

Exercice du TD correspondant: TD2 Exercices 2,3,10

Exercices supplémentaires: Sur cette page, exercice 4


  • Inverser une matrice 

→ On utilise généralement le pivot de Gauss, mais on peut aussi utiliser des informations spécifiques à la matrice 

Exercices du TD correspondants: TD2  Exercices 4,5,6,12

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 8 et 9

  • Exprimer un système sous forme matricielle et en déduire la solution quand la matrice est inversible

Exercices du TD: TD2 Ex 7 et 13


Chapitre 3

Fiche-résumé :http://carolinevernier.website/memos/ev_sev.pdf

Vrai/Faux: https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097068


Méthodes à maîtriser

  • Montrer qu'un sous-ensemble F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel

Exercices du TD correspondants: TD3 Exercices 1 à 6,7,19.1,20.1

→ 1-6: sous forme de quiz ici: https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097088

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 2 et 4

  • Montrer que deux sous-espaces vectoriels sont en somme directe dans E

Exercices du TD correspondants: TD3 Exercices 10,11,12,17,18,19,20

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercice 11. Sur cette page, exercices 9 et 10

  • Passer d’une description à l’autre pour un s.e.v. donné

On a vu 3 descriptions possibles pour un s.e.v: 

  1. Avec une équation (type F={(x,y),x+2y=0}
  2. Comme sous-espace engendré (type F=Vect(u1,u2,...up)
  3. Avec des paramètres (type F={(a+b,a-2b),a,b réels)

Exercices du TD correspondants: TD 3 Exercice 8

Chapitre 4

Fiche-résumé:

http://carolinevernier.website/memos/dimension.pdf

Fiche: Trouver une base d'un sev :

 http://carolinevernier.website/compl/methode-base-sev_compressed.pdf

Vrai/Faux: https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097069

Méthodes à maîtriser:

  • Montrer qu'une famille de vecteurs est libre, génératrice ou est une base de E

→ On a maintenant plusieurs méthodes: via la définition (donc en résolvant des systèmes) mais aussi en utilisant des raisonnements basés sur la dimension, ou en utilisant le déterminant. 

Exercices du TD correspondants: TD4 Exercices 1,2,4,9,11,12,13

Exercices supplémentaires: sur cette page ,exercices 1 et 3

  • Déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base donnée:

Exercices du TD: TD4 exercice 3,11

Exercice supplémentaire: sur cette page, exercices 2 et 5. Sur cette page, exercice 1


  • Donner une base et la dimension d'un sous-espace vectoriel

Exercices du TD correspondants: TD4 Exercices 5, 6,7,8,10,14

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 2 et 7. Sur cette page, exercices 6 à 8


  • Calculer dim(F+G) à l'aide de la formule 
TD4 ex 5 et, sur cette page, exercice 7
  • Déterminer si deux s.e.v sont supplémentaires en utilisant leurs bases / leur dimension : 
TD4 ex 6,7, + sur cette page exercices 29 à 30
Chapitre 5

Fiche-résumé: http://carolinevernier.website/memos/appli_lin.pdf

Vrai/Faux: https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097070

Quizz d'entraînement niveau 1 (dans |Rn) : https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097089

Quizz d'entraînement niveau 2 (dans des e.v. de polynômes, de suites, etc) https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097090

Méthodes à maîtriser:

  • Montrer qu'une application entre deux e.v. est linéaire.

Exercice du TD correspondant: TD5 Exercice 1,2,4,12

Exercices supplémentaire: sur cette page, exercice 1

  • Trouver le noyau, l'image et le rang d'une application linéaire, en déduire si l'application est injective/surjective/bijective

Exercices du TD correspondants: Exercice 1,2,3,4,5,8,9,12,13

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 15 et 16. Sur cette page, exercice 7


CHAPITRE 6

Quizz d'entraînement (niveau 1): https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097091

Quizz d'entraînement (niveau 2):https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=109709


Vidéos d'exercices corrigés: 
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5a1yDW3HXVs1l7-rmIB9pkCU1u0eJMAL 

Méthodes à maîtriser:

  • Appliquer la recette de la représentation matricielle d'une application linéaire dans deux bases données de l'espace de départ et d'arrivée

Exercices:complément du TD6 : ex 1 et 2, TD6 ex 4, 13.1, 14.1

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 2,3,4,5,8

  • Interpréter l'information donnée par une matrice: les colonnes donnent les coordonnées dans la base de l'espace d'arrivée des vecteurs f(ei), où {e1,...,ep}  est la base de l'espace de départ

Exercices: TD6 ex 3,8, 9,10,11

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 6,7

  • Utiliser le lien entre opérations sur les applications linéaires (somme, composée) et leurs matrices représentatives (somme, produit matriciel)

Exercices: TD6 exercices 2,3,10,13

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercice 1

  • Changement de base: matrice de passage et formule de changement de base

Exercices: TD6 exercices 5,6,7,8,14

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 15,16

Chapitre 7

Ce chapitre n'a pas été traité en TD: ne vous inquiétez pas, j'en tiens compte !

Le déterminant est un outil que vous pouvez utiliser, à partir des règles de calcul vues en cours, pour démontrer qu'une matrice est inversible, qu'une famille de vecteurs est une base, etc.

Vidéos de cours et exercices corrigés:

Fiche sur les techniques de calcul: https://cours.univ-paris1.fr/pluginfile.php/1961325/mod_resource/content/1/determinants_methodes.pdf


Modifié le: mardi 7 mai 2024, 10:37