Guide de révisions - partiel 2023

Version courte

Cours: Chapitres 1 à 6: Systèmes, Matrices, Espaces et sous-espaces vectoriels, Bases et dimension, Applications linéaires, Représentation matricielles

Pour le cours, les attentes sont: 

• Connaître précisément les définitions (et surtout leur sens: vérifier que vous pouvez fabriquer un exemple simple !) et les énoncés des propositions 
• Pouvoir traiter des exemples simples similaires à ceux traités en CM
• Inutile de connaître les démonstrations des théorèmes: je ne vous demanderai pas d'en refaire une. Par contre, vérifiez que vous avez compris le raisonnement qui a mené au résultat.

Exercices: TD 1 à 5 Systèmes, Matrices, Espaces et sous-espaces vectoriels, Bases et dimension, Applications linéaires

• Les exercices "principaux" sont à savoir refaire
• Les exercices complémentaires ne sont pas au programme, mais permettent de s'entraîner.

Version longue: Guide des ressources disponibles

VIDÉOS

Ev, sev, bases, applications linéaires:

CHAPITRE 1

Fiche-résumé ici: https://cours.univ-paris1.fr/pluginfile.php/1961311/mod_resource/content/1/pivot_gauss.pdf

Méthodes à maîtriser:

• Résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss

Exercices du TD correspondants: TD1  Exercices 1,2,6,7,8

Exercices supplémentaires: Sur cette page, exercices 1.1, 2 et 3

• Déterminer l’ensemble des solutions d’un système à paramètre, en fonction des valeurs du paramètre

Exercices du TD correspondants: TD1  Exercices 3,4,5

Exercices supplémentaires: Sur cette page, exercices 4 et 5

CHAPITRE 2

• Vocabulaire sur les matrices: taille d'une matrice, matrice identité, inverse, matrices diagonales, triangulaires, symétriques, antisymétriques
• Opération sur les matrices: somme, produit par un scalaire, produit matriciel, trace, transposée, inverse (et leurs règles de maniement !)
• Représentation matricielle des systèmes linéaires

Fiche-vocabulaire:

https://cours.univ-paris1.fr/pluginfile.php/1961313/mod_resource/content/1/matrices_vocab.pdf 

Méthodes à maîtriser:

• Calculer un produit matriciel (et déterminer quand le produit de deux matrices existe)

Exercices du TD correspondants : TD2 Exercice 1

Exercices supplémentaires: Sur cette page, exercice 1

• Puissances de matrices carrées

Exercice du TD correspondant: TD2 Exercices 2,3,10

Exercices supplémentaires: Sur cette page, exercice 4

• Inverser une matrice 

→ On utilise généralement le pivot de Gauss, mais on peut aussi utiliser des informations spécifiques à la matrice 

Exercices du TD correspondants: TD2  Exercices 4,5,6,12

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 8 et 9

• Exprimer un système sous forme matricielle et en déduire la solution quand la matrice est inversible

Exercices du TD: TD2 Ex 7 et 13

CHAPITRE 3

Fiche-résumé:

Fiche-méthode sur les sommes directes:

https://cours.univ-paris1.fr/mod/resource/view.php?id=1097144 

https://cours.univ-paris1.fr/mod/resource/view.php?id=1097145 

• Exemples fondamentaux d'espaces vectoriels: |Kⁿ , |K[X], |K_d[X], |R^|R, |R^|N
• Connaître les définitions d'un sous-espace vectoriel, d'une somme de sev, de sev supplémentaires/en somme directe, et de sev engendré par une famille
• Opérations ensemblistes sur les sev  (intersection, union, complémentaire d'un sev: lesquels sont des sev ?)

Méthodes à maîtriser:

• Montrer qu'un sous-ensemble F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel

Exercices du TD correspondants: TD3 Exercices 1 à 6,7. et vous pouvez aussi vous entraîner sur les sev F et F_a des exercices 10,11,12 

+ TD3 Exercices complémentaires 19.1 et 20.1

→ Les exercices 2 à 6 sont disponibles sous forme de quiz corrigé ici: https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097088 

Encore plus d'exercices: sur cette page, exercices 2 et 4

• Montrer que deux sous-espaces vectoriels sont en somme directe dans E

Exercices du TD correspondants: TD3 Exercices 10, 11, 12

+TD3  Exercices complémentaires 17,18,19 20

Encore plus d'exercices: sur cette page, exercice 11. Sur cette page, exercices 9 et 10

• Passer d’une description à l’autre pour un s.e.v. donné

On a vu 3 descriptions possibles pour un s.e.v: 

1. Avec une équation (type F={(x,y),x+2y=0}
2. Comme sous-espace engendré (type F=Vect(u1,u2,...up)
3. Avec des paramètres (type F={(a+b,a-2b),a,b réels)

Exercices du TD correspondants: TD 3 Exercice 8.3

CHAPITRE 4

• Définition d'une famille génératrice, libre, d'une base d'un espace vectoriel ou d'un sev, et de la dimension d'un ev ou d'un sev. Coordonnées d'un vecteur dans une base.
• Familles libres à un ou deux vecteurs (proposition 8)
• Lien entre dimension et cardinal des familles libres/génératrices et des bases 
• Comparaison entre la dimension d'un sev et de l'espace vectoriel dans lequel il est inclus 
• Formule pour dim(F+G) et application aux sommes directes.

Fiche-résumé:

Méthode: Base d’un sev

https://cours.univ-paris1.fr/mod/resource/view.php?id=1097149 

• Montrer qu'une famille de vecteurs est libre, génératrice ou est une base de E

→ On a plusieurs méthodes: via la définition (donc en résolvant des systèmes) mais aussi en utilisant des raisonnements basés sur la dimension.

Exercices du TD correspondants: TD4 Exercices 1,2,4

+TD4 Exercices complémentaires 9,11,12,13

Exercices supplémentaires: sur cette page ,exercices 1 et 3

• Donner une base et la dimension d'un sous-espace vectoriel

Exercices du TD correspondants: TD4 Exercice 5, 6, 7

+ Exercices complémentaires 8,10,11

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 2 et 7. Sur cette page, exercices 6 et 7

• Utiliser les bases pour déterminer un supplémentaire d'un sev donné

+ Exercice complémentaire 10

CHAPITRE 5

Fiche-résumé:

https://cours.univ-paris1.fr/mod/resource/view.php?id=1097147 

Cours: 

• Définitions : application linéaire, endomorphisme, isomorphisme, noyau, image et rang
• Injectivité et surjectivité: lien avec le noyau, l'image et le rang. Théorème du rang
• Application linéaire associée à une matrice (comme dans l'exemple 24 du chapitre 5)
• Image d'une famille libre, d'une famille génératrice

Méthodes à maîtriser

• Montrer qu'une application entre deux e.v. est linéaire.

Exercice du TD correspondant: TD5 Exercice 1, 2,4 : exercice complémentaire 12

Exercices supplémentaire: sur cette page, exercice 1

• Calculer le noyau, l'image et le rang d'une application linéaire

Exercices du TD correspondants: Exercice 1,2,3,4,8,9,10,12,13

Exercices supplémentaires: sur cette page, exercices 15 et 16. Sur cette page, exercice 7

Quizz niveau 1 (dans |Rn) : https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097089

Quizz niveau 2 (dans des e.v. de polynômes, de suites, etc)  https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097090 

CHAPITRE 6

Cours uniquement:

• "Recette" de la représentation matricielle d'une application linéaire dans deux bases données de l'espace de départ et d'arrivée
• Application dans des cas simples (applications |R^p -> |Rⁿ dans les bases canoniques)
• Définition de la matrice de passage

Pour avoir des exemples:

Quizz corrigé: https://cours.univ-paris1.fr/mod/quiz/view.php?id=1097091

Vidéos d'exercices corrigés: 
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5a1yDW3HXVs1l7-rmIB9pkCU1u0eJMAL